代数学１ (講2c2d/演1a1b)

Algebra (1) (講2c2d/演1a1b)

9921D14

21MAALG101

木村　直記、片岡　武典

Takenori Kataoka, Naoki Kimura

2024年度前期、2024年度後期

2024 First Semester/2024 Second Semester

前期(木曜6限、金曜7限)、後期(木曜6限、金曜7限)

Thursday 6th Period and Friday 7th Period

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

6.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

線型代数学の基礎的事項について解説する．線型代数学は専門的な数学(純粋数学および応用数学)，物理学，化学，生物学をはじめとする自然科学のみならず，薬学や工学，及び経済学等の社会科学においても頻繁に用いられ，最も汎用性の高い数学のうちの一つであり，諸科学における最も基礎的な道具のうちの一つでもある．

専門的な数学に関しても，代数系・幾何系・解析系・応用数学系のどの分野でも，線型代数学は必須の道具である．今後どの専門に進むとしても，しっかりと身につけることが極めて肝要である．

線型代数学とは，端的に言えば，ベクトル空間とそれらの間の線型写像の性質を，行列を用いて深く考察する学問である．本科目では，行列に関する種々の演算や性質に習熟することが一つの目標となる．例えば，行列の基本変形という概念を応用した，連立一次方程式の解法を学ぶ．また，固有値問題を扱い，行列の対角化を学ぶ．さらに，一般的なベクトル空間の概念を理解し，様々な数学において用いられる線型代数学の基本的技術を身に付ける．

この科目は，本学科のディプロマ・ポリシーに定める『理論的に思考する能力』を鍛え上げる科目のうちの一つである．

本科目を履修することで到達が期待される知識レベルは，以下の通りである．

1. 行列の基本変形などを通じて，行列の階数，行列式，及び逆行列を，それぞれ適した方法で正しく計算できる．
2. 連立一次方程式を行列を用いて理解し，行列の基本変形を用いてその解を正確に記述できる．
3. ベクトルの一次独立性を理解し，与えられたベクトルたちが一次独立かどうかを，適した方法で示すことができる．
4. 与えられたベクトル空間の基底を求めることができる．
5. 線型写像を理解し，その表現行列を求めることができる．
6. 線型写像の像と核の基底を計算できる．
7. 与えられた行列の固有値，固有空間の基底を求めることができる．さらに，与えられた行列が対角化可能かどうかを判定し，対角化可能である場合は対角化することができる．

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

(1) 集合と写像に関する基本的な知識を身につけていることが望ましい．特に集合の相等や演算，写像の全射と単射などの概念に慣れていない学生は，この講義と並行して勉強してください．

(2) 線型代数学を学習する際に，大きな行列をたくさん書くことはかなり面倒でもあります．しかし，定理や命題の意味しているところを正確かつ着実に理解するためには，頭の中だけで考えるだけではなく，億劫がらずにきちんと書いてみることが何よりも大切です．何回も，きちんと書くことによって，よりはっきりと分かってくるようになります．そのような習慣を身に着けるようにしてください．

(3) 演習では，先生がやってくれるのをノートに書き写すだけでなく，必ず自分で考えて自分で手を動かして解くようにしてください．

課題に対する作文　Essay

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抽象的な理論に不慣れな方も多いと思いますが，新しく学ぶ理論をよく理解するための最善の方法は，たくさんの具体例を考察してみたり，計算してみたりすることです．各自，講義ノートの復習はもちろんのこと，教科書・参考書の演習問題に取り組んだり，自分で問題を作ったりしてみて，積極的に試行錯誤すること．(準備学習：各回２時間程度，復習：各回４時間程度)．

前期・後期それぞれの期末試験，及びレポート等の評点により判定する．特に，正当な理由なく各期末試験を受験しない場合は，成績を入点しない(単位が与えられない)ので注意すること．
出席状況で加点されることはないが，出席は履修の前提であるため，欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合がある．
［フィードバックの方法］
レポートなどの結果は採点のうえ，各期末試験までに返却する．

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

『明解 線形代数［改訂版］』木村達雄・竹内光弘・宮本雅彦・森田純 著，日本評論社，2015年発行，ISBN: 978-4-535-78591-5

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

現在，線型代数学に関連する書籍は山のように出版されています．どれにも一長一短があるかと思います．以下に数学科の学生向けのいくつか参考書を掲げますが，実際にいくつか手に取って眺めてみて，自分に合うものを見つけるのがよいと思います．

(I) 平易かつ丁寧な解説で読みやすいもの．初学者向け．


(II) 理論重視のしっかりとした解説本．意欲的な学生，及び大学院進学者向け．


なお，集合と写像に関しては，数学全般に関しては，を参考にするとよいと思います．

[前期]

第１回　ガイダンス/平面ベクトル/数ベクトル/2次正方行列第２回　行列の定義/行列の演算第３回　行列のブロック分割/正則行列第４回　行列の基本変形第５回　逆行列の計算法/連立一次方程式の解法第６回　数ベクトル空間の基底第７回　行列の階数第８回　2次・3次の行列式第９回　置換とその符号第１０回　行列式の定義第１１回　行列式の余因子展開第１２回 固有多項式/ケーリー・ハミルトンの定理第１３回　クラメールの公式第１４回　これまでの復習
第１５回　到達度評価及び解説
[後期]

第１回　数ベクトル空間の間の線型写像第２回　線型写像の像と核第３回　線型写像の像と核の計算法第４回　ベクトル空間第５回　ベクトル空間の基底第６回　ベクトル空間の次元第７回　ベクトル空間の間の線型写像第８回　線型写像の表現行列第９回　計量ベクトル空間第１０回　グラム・シュミットの直交化法第１１回　固有値と固有空間第１２回　行列の対角化第１３回　正規行列の対角化第１４回　これまでの復習
第１５回　到達度評価及び解説

なし

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授業計画は，あくまで全クラスを通じた大まかな予定であり，クラス毎に多少の差が生じる可能性があります．また，前期・後期の期末試験では，全クラス同一の問題により評価する予定です．

本科目は数学の教科に関する科目の「代数学」に該当する科目です．

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