位相数学特講１Ｂ

Advanced Topology (1-B)

9921501

21MAGEO314

佐藤　隆夫

Satoh, Takao

2024年度後期

2024 / The second semester

木曜6限

The 6th period on Thursday

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

結び目のアレクサンダー多項式に関する解説を行う．

We will give an introductory lecture about the Alexander polynomials of knots.

結び目の重要な不変量であるアレクサンダー多項式を学び，その手法や考え方を身に付けるため．

Students are expected to learn basic notions and methods of knots invariants via the Alexander polynomials.

1.　Fox微分と有限表示群の初等イデアルを理解する．
2.　結び目のアレクサンダー多項式の定義を理解する．
3.　結び目の分解と連結和を理解する．
4.　ザイフェルト行列とその性質を理解する．

Our goal is to understand the followings.

1. Fox derivatives and elementary ideals of a finitely presented group,
2. Definition of the Alexander polynomials of knots and examples,
3. Decompositions and connected sums of knots,
4. Seifert matrices of knots and its properties.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

板書が中心になるのでノートをしっかり取る．
疑問点は積極的に質問する．

Do not hesitate to ask the lecturer any inquiries.

課題に対する作文　Essay

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毎回、前回までに講義された定理・概念をよく復習しておく．
また，具体的な例を計算することにより，それらの意味を理解しておく．

Review your notebook before each lecture.
Consider and give examples as many as you can in order to understand the theory.

およそ，レポート第1回40％，レポート第2回60％で評価する．

We score by using two reports.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

G. Burde, H. Zieschang and M. Heusener； Knots, De Gruyter.
R.H. Crowell and R. H. Fox；Introduction to Knot Theory, Dover.
A. Kawauchi；A Survey of Knot Theory, Birkhauser.
W.B.R. Lickorish; An Introduction to Knot Theory, GTM175, Springer.
D. Rolfsen; Knots and Links, AMS Chelsea Publishing.

大槻 知忠著；結び目の不変量，共立出版．
北野 晃朗，合田 洋，森藤 孝之著；ねじれAlexander不変量，数学メモワール5，日本数学会．
鈴木 晋一著；　曲面の線形トポロジー 上下，槙書店．
谷山 公規著；結び目理論，共立出版．
村上 斉著；結び目理論入門 上，岩波書店．
村杉 邦男著；結び目理論とその応用，日本評論社．

1. 結び目の復習
Review of knots

2. Fox微分と初等イデアル
Fox derivatives and elementary ideals of a finitely presented group

3.Tietze変換
Tietze transformations

4.Z[t^{±1}]の構造
Structure of the Laurent polynomial ring over the integers

5. アレキサンダー多項式
Alexander polynomials of knots

6.ザイフェルト曲面と結び目の分解
Seifert surfaces and the decomposition of knots

7.結び目の連結和
Connecting sum of knots

8.絡み目の絡み数
Links and linking numbers

9.ザイフェルト行列
Seifert matrices

10. アレキサンダー多項式 2
Alexander polynomials of knots, part 2

11. ザイフェルト行列 2
Seifert matrices, part 2

12. 群のコホモロジー
Cohomology of groups

13. Fox微分と自由分解
Construction of free resolutions with Fox derivatives

14. 結び目群のアーベル化の核のアーベル化
Abelianizations of the kernels of the abelianizations of knot groups

15. 結び目補空間の無限巡回被覆
Infinite cyclic cover of a knot complement

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とくになし

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