解析学３Ａ

Analysis (3-A)

9921135

21MAANA301

伊藤　弘道

ITOU Hiromichi

2024年度前期

2024 First Semester

月曜6限

6th period on Monday

理学部第二部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅱ

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

現象を定量的に捉えようとする手段として偏微分方程式がいたるところに現れ、その解を調べることで、現象のより精緻な理解を得ることが出来る。この講義では、典型的な偏微分方程式（波動方程式、熱方程式およびラプラス方程式など）がどんなところから現れるのかを解説し、それらの解法を通して基本的方法である変数分離法と重ね合わせの原理を身につけ、初期値境界値問題の古典解の適切性を理解する。

フーリエ級数の基礎的事項を習得する。次にそれらを用いて実際に偏微分方程式の解を構成することにより、解の性質（例えば、波動の有限速度伝播，熱伝導における熱量保存則など）について理解する。
　本学科におけるディプロマポリシー「理学に関する基礎的な知識やそれを修得するための技法を利用して論理的に思考する能力を習得する」を実現する科目である。

フーリエ解析と偏微分方程式についての基礎的事項の理解と典型的な方程式の解法を通して基本的方法である変数分離法と重ね合わせの原理を身につける。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

単に数式を扱うのではなく、方程式のもつ意味も考えながら学んでほしい。
微積分学、線型代数、常微分方程式、複素解析を学んでいることが望ましい。
関連科目として
複素解析Ａ・Ｂ、応用解析Ａ・Ｂ、微分方程式Ａ・Ｂ、数学研究Ａ・Ｂ、計算数学１Ａ・１Ｂ、
関数解析Ａ・Ｂ、実解析Ａ・Ｂ
がある。

課題に対する作文　Essay

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準備学習：各回の授業前に１時間程度、内容に対応する参考書の部分を読んでおくとよい。
復習：各回の講義内容を３時間程度復習し、各回の授業テーマについて説明できるようにしておくこと。

到達度評価およびレポートにより総合的に評価する。
出席は履修の前提であるため、欠席が多ければ単位を取得できなくなる場合があります。また、出席状況で加点されることもありません。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

『偏微分方程式入門』金子晃著、東京大学出版会、1998年発行、978-4130629034
『フーリエ解析入門 (プリンストン解析学講義) 』 エリアス・M. スタイン, ラミ シャカルチ 著、日本評論社、2007年発行、978-4535608917
『フーリエ解析と偏微分方程式』 Ｅ．クライツィグ 著、培風館、2009年発行、978-4563011178
『物理数学入門』谷島賢二著、東京大学出版会、1994年発行、978-4130629027
『フーリエの方法』 入江昭二, 垣田高夫 著、内田老鶴圃、2016年発行、978-4753600854
『理工系の基礎　数学Ⅰ』小谷佳子・伊藤弘道ほか著、丸善出版、2018年発行、978-4621302491

第１週：微分方程式とは
                     講義のガイダンスおよび微分方程式の基礎用語を理解する
第２週：空間１次元の波動方程式
　　　　　　弦の振動のモデルからの空間1次元の波動方程式の導出を理解する
第３週：空間１次元の熱方程式
　　　　　　直線状の針金の温度分布の時間変化モデルからの空間1次元の熱方程式の導出を理解する
第４週：1次元拡散方程式とＢｒｏｗｎ運動
　　　　　　拡散方程式やＢｒｏｗｎ運動についての導出背景を理解する
第５週：膜の振動
　　　　　　弦の振動のモデルからの空間2次元の波動方程式の導出を理解する
第６週：空間３次元のLaplace方程式
　　　　　　質量分布に対するＮｅｗｔｏｎポテンシャルから3次元のＬａｐｌａｃｅ方程式を導出する
第７週：空間３次元の熱方程式
　　　　　　空間3次元の熱伝導現象を考察し、熱方程式から派生する方程式の3次元版を理解する
第８週：空間１次元の波動方程式の求積法
　　　　　　D'Alembertの公式の導出を理解する
第９週：フーリエ級数
　　　　　　フーリエ級数の定義およびその性質を理解する
第10週：フーリエ級数の収束定理
　　　　　　フーリエ級数の収束定理の証明を理解する
第11週：変数分離法１（1次元熱方程式の初期値境界値問題）
　　　　　　変数分離法を用いて、1次元熱方程式の初期値境界値問題が解けるようになる
第12週：変数分離法２（1次元熱方程式の初期値境界値問題つづき）
　　　　　　前回求めた形式的な解が求める解となっていることの証明を理解する
第13週：変数分離法３（1次元波動方程式の初期値境界値問題）
　　　　　　変数分離法を用いて、1次元波動方程式の初期値境界値問題が解けるようになる
第14週：変数分離法４（円板領域におけるLaplace方程式のDirichlet問題）
　　　　　　変数分離法を用いて、円板領域におけるLaplace方程式のDirichlet問題が解けるようになる
第15週：到達度評価及び解説
　　　　　　これまでの内容の理解度を試験（またはレポート）で評価する

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授業計画は学生の理解度や講義の進捗状況に応じて適宜変更する。

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