最適化理論特論 （博士後期課程用）

Topics in Optimization Theory (Doctor)

991JZ10

14MAAPM507

小笠原　英穂

Hideho Ogasawara

2024年度後期

2024 2nd Semester

火曜4限

Tuesday 4th Period

理学研究科　数学専攻　

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

最適化理論のうち、特に連続最適化問題とそれを扱うための基礎理論および数値解法を学ぶ．線形計画問題では双対問題や双対定理、最適性条件、数値解法を学び、その拡張として凸２次計画問題と応用問題を学ぶ．非線形計画問題では、無制約問題に対する最適性条件や基本的な数値解法を学ぶ．
In this lecture, we study basic theory and numerical solutions for continuous optimization problems. For linear programs, we study dual problems, duality theorems, optimality conditions and computational methods. For nonlinear programs, we consider unconstrained optimization problems only. We introduce optimality conditions and some numerical methods for solving the problems.

最適化問題の代表例である線形計画問題と応用上重要な非線形計画問題の理論的基礎およびそれらを解くための基本的な数値解法の知識を身に着ける．本専攻のディプロマ・ポリシーに定める『応用数学の分野において高度な専門的学識と研究能力を持つことで、論理的・批判的に思考し、専門分野及び関連分野の諸問題を能動的に解決することができる能力』を養成するための科目である．
Students should acquire the basic of theory and solution methods for linear programs that are typical examples of optimization problems, and nonlinear programs that are important in practice. This course is aimed at cultivating ability of positive solution to problems as stated in the diploma policy of the Department.

1. 最適化問題の例を具体的に説明できるようになる．
2. 線形計画問題とその応用を説明できるようになる．
3. 線形計画問題の数値解法の基本概念を説明できる．
4. 無制約最適化問題の例と最適性条件および数値解法が理解できるようになる．
1. Students can explain typical examples of optimization problems.
2. Students can explain linear programming problems and applications.
3. Students can explain basic ideas for solving linear programming problems.
4. Students can understand examples, optimality conditions, and typical numerical methods for unconstrained optimization problems.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

学部⽣のときに「最適化理論 1」または「オペレーションズ・リサーチ」、「数理計画法」のいずれかを履修済みかまたは現在履修中であることが望ましい．
Students are expected to have completed or be currently studing any of “Optimization Theory 1”, “Operations Research” and “Mathematical Programming” as undergraduate students.

課題に対する作文　Essay

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前回の内容のプリント、ノートを⾒返して復習し、次回の内容のプリントを読んで予習する．もし疑問に思うことや理解しにくい箇所があれば、その要点をまとめて授業時に解決できるように準備しておく(予・復習合わせて4時間程度)．
Students are expected to review handouts of the previous class and their notebook, and read to prepare the handouts of the next class. If a student has questions or parts that are difficult to understand, prepare a summary so that the student can solve them in class time (approximately 4 hours together with preparation and review).

出席が良好である前提(15回x80%=12回以上出席)で、平常時の課題や最終回に課すレポートにより総合的に評価する．博士後期課程の学生には、他に考察すべきレポートも課す．病⽋等特別な理由なく出席が良好でない場合(上記の基準未満)は評価対象外とする．
Based on the premise that attendance is good (15 x 80% = more than 12 lessons), we will evaluate comprehensively by some small tasks on the way and the report imposed on the final class. When attendance is not good without a valid reason such as sickness (less than the above-mentioned criteria), we do not evaluate the student.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

用いるテキストや資料等はLETUSに掲示する．

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

下記の本はいずれも大学の電子ブックに登録されているので大いに利用することを推奨する．
[1] (世界的に有名でよく引用される優良教科書)
J. Nocedal and S.J. Wright, Numerical Optimization (Second Edition), Springer, 2006.
[2] (著名な研究者による優れた教科書)
W. Sun and Y. X. Yuan, Optimization Theory and Methods: Nonlinear Programming, Springer, 2006.

１．最適化問題 (1)　最適化問題とは何かを例題で学ぶ．
２．最適化問題 (2)　最適化問題の種別と解の概念を学ぶ．
３．線形計画問題 (1)　線形計画問題の具体例を学ぶ．
４．線形計画問題 (2)　線形計画問題の標準形と変換法を学ぶ．
５．線形計画問題 (3)　双対問題と双対定理について学ぶ．
６．線形計画問題 (4)　単体法の基本的な考え方を学ぶ．
７．線形計画問題 (5)　単体法の概要を学ぶ．
８．線形計画問題 (6)　内点法の基本的な考え方を学ぶ．
９．線形計画問題 (7)　内点法の概要を学ぶ．
10．線形計画問題 (8)　線形計画問題の拡張として凸2次計画問題とその応用を学ぶ．
11．無制約最適化問題 (1)　無制約最適化問題とその最適性条件について学ぶ．
12．無制約最適化問題 (2)　勾配法と直線探索について学ぶ．
13．無制約最適化問題 (3)　数値解法の基本的な考え方を学ぶ．
14．無制約最適化問題 (4)　数値解法の概要を学ぶ．
15．目標の達成度を確認する課題を通じて、最適化問題の理論的基礎と数値解法の概要が理解できる．
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１．Optimization problems (1)　We introduce some optimization problems.
２．Optimization problems (2)　We study some types of optimization problems and the concept of solution.
３．Linear Programming (1)　We study examples of linear programs (LPs).
４．Linear Programming (2)　We study examples of standard form of LP and how to transform into standard form.
５．Linear Programming (3)　We study dual problems and duality theorems.
６．Linear programming (4)　We study basic ideas of the simplex methods for LP.
７．Linear programming (5)　We study summary of the simplex methods for LP.
８．Linear programming (6)　We study basic ideas of the interior point methods for LP.
９．Linear programming (7)　We study summary of the interior point methods for LP.
10．Linear programming (8)　We study convex quadratic programs (QPs) as an extention of LP，and some applications of QP.
11．Unconstrained Optimization (1)　We study unconstrained optimization problems and the optimality conditions.
12．Unconstrained Optimization (2)　We study gradient methods and line search techniques.
13．Unconstrained Optimization (3)　We study basic ideas of numerical solution methods.
14．Unconstrained Optimization (4)　We study summary of numerical solution methods.
15．Students can understand the summary of basic theories and numerical methods for
optimization problems through the research task to confirm the degree of achievement of the goal.

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Mathematica

Excel, Scilab

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