数理物理学特論2 （博士後期課程用）

Selected Topics inMathematical Physics 2 (Doctor)

991CZ21

12MATHP502

堺　和光

Kazumitsu SAKAI

2024年度後期

2024 Second Semester

金曜3限

Friday 3rd  Period

理学研究科　数学専攻　

Department of Mathematics, Graduate School of Science

1.0単位

講義

Lecture

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⑧ [遠隔]オンライン授業（非同期）/ [Remote]Online (asynchronized remote)

臨界現象において、系は臨界点で「共形不変性」を持つことが知られている。この「共形不変性」を有する場の理論が共形場理論である。特に，時空が２次元の場合、共形変換の生成子はヴィラソロ代数とよばれる無限次元のリー環を形成し、この無限次元の対称性によって臨界現象が系統的に分類される。この２次元共形場理論は、臨界現象や弦理論など物理的応用の他、表現論等の数学にも大きな影響を与える。この講義では、ヴィラソロ代数の表現論およびミニマル模型を中心として解説する。

In critical phenomena, it is known that the systems possess "scale invariance" at the critical point. A quantum field theory possessing the "conformal invariance" is conformal field theory. In particular, for the 2D space-time, the generators of the conformal transformation are described by infinite-dimensional Lie algebras called Virasoro algebras. This infinite-dimensional symmetry makes it possible to classify 2D critical phenomena systematically. 2D conformal field theory is crucial in critical phenomena and string theory as well as mathematics such as representation theory.

In this lecture, the representation theory of the Virasoro algebra and the minimal models will be studied.

２次元共形場理論理論の基礎、特にヴィラソロ代数の表現論およびミニマル模型を理解する。

The fundamentals of 2D conformal field theory, particularly the representation theory of the Virasoro algebra and the minimal models will be studied.

・ヴィラソロ代数およびその表現論を説明できる。
・ミニマル模型による臨界現象の分類が説明できる。

On completion of the course, participants shall be able to:
･ explain the Virasoro algebra and its representation theory.
･ explain the classification of critical phenomena using minimal models.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

数理物理学特論１の内容を前提に講義する。

The lecture is based on Selected Topics in Mathematical Physics 1.

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講義で行った論理の展開や計算を再現できるようにする。

Participants are required to reproduce the logic and detailed calculations performed in the lecture.

授業中に出される演習問題を解いたものをレポートとして提出させ、その出来により評価する。

Evaluated by reports for exercises presented in the lecture.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

1. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory: A.A Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Nuclear Physics B 241 (2): 333-380.
2. Conformal field theory, Di Francesco, Mathieu, Sénéchal,, Springer
3.　江口徹，菅原祐二：「共形場理論」, 岩波書店
4.　共形場理論、伊藤克司、サイエンス社
5.　山田泰彦：「共形場理論」，培風館
6.　川上則夫，梁成吉：「共形場理論と１次元量子系」，岩波書店

第１回：Virasoro代数
第２回：セントラルチャージ
第３回：Virasoro代数と表現論１
第４回：Virasoro代数と表現論２
第５回：ミニマル模型１
第６回：ミニマル模型２
第７回：相関関数の計算
第８回：最近のトピックス

1. Virasoro algebras
2. Central charges
3. Reresentation theory of Virasoro algebras 1
4. Reresentation theory of Virasoro algebras 2
5. Minimal models 1
6. Minimal models 2
7. Calculations of correlation functions
8. Recent topics

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