代数学講究1 （功刀）

Research in algebra 1 （功刀）

991B513

11MAALG501

功刀　直子

Naoko Kunugi

2024年度前期

2024/First Semester

金曜2限

Friday 2nd. Period

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

有限群のモジュラー表現論の基本事項をセミナー形式で学ぶ。　　

We learn about basic concepts of modular representation theory of finite groups in seminar style classes.

有限群のモジュラー表現では，群環上の加群は半単純加群とはならない。半単純ではない加群の構造を調べるうえで重要となる多元環の表現論の一般論を学び，有限群のモジュラー表現論に応用する。

In modular representations of finite groups, a module over a group algebra is not semisimple in general.　
In this course, we aim at learning general theory on representation theory of finite dimensional algebras which is important for investigation of non-semisimple modules and applying those to modular representations of finite groups.

１．半単純環の構造定理を理解する。
２．群環が半単純環となる条件を理解する（マシュケの定理）
３．直既約分解の一意性に関するKrull-Schmidt の定理を理解する。
４．直既約射影加群と単純加群の対応を理解する。　

1. Understand the structure thoerem for semisimple algebras.
2. Understand the condition that the group algebra to be semisimple(Maschke's Theorem).
3. Understand the Krull-Schumidt theorem on the uniquness of indecomposable decompositions.
4. Understand the correspondence between the indecomposable projective modules and the simple modules.

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

特になし。
Not specified.

プレゼンテーション　Presentation

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毎回授業の前に，予習，復習を必ず行うこと（10時間）
Be sure to prepare and review before each class (10 hours)

プレゼンテーションの出来ばえ，議論への参加の積極性を加味して評価する。

To be evaluated in taking account of the presentation's performance level and positiveness of participation in discussion.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

J.L. Alperin, Local representation theory,
永尾・津島　有限群の表現

セミナー形式で有限群のモジュラー表現に関する基礎事項を学ぶ。
１．　単純加群1　　　単純加群，半単純加群について学ぶ
２．　単純加群2　　　多元環の根基，台，加群の根基列，台列ついて学ぶ。
３．　単純多元環1　　単純多元環の構造を学ぶ。
４．　単純多元環2　　Wedderburn による半単純環の構造定理について学ぶ。
５．　群環1　　　　　群環について，とくに Maschke の定理や単純加群の同型類の個数について学ぶ。
６．　群環2　　　　　群環のいくつかの例を扱う。また，Cliford の定理を学ぶ。
７．　直既約加群1　　直既約加群について学ぶ。とくに，Krull-Schmidt の定理を理解する。
８．　直既約加群2　　巡回群の群環の直既約加群の特徴づけについて学ぶ。
９．　自由加群1　　　自由加群，射影加群の特徴づけを学ぶ。
１０．自由加群2　　　直既約射影加群と単純加群の対応を学ぶ。
１１．自由加群3　　　巡回シロー部分群を正規部分群にもつ群の群環の直既約加群の構造を学ぶ。
１２．双対性　　　　 双対加群，移入加群について学ぶ。
１３．テンサー積1　　群環上の加群のテンサー積を導入し，Hom との関係を学ぶ。
１４．テンサー積2　　素体上の2次特殊線形群の直既約射影加群の構造を調べる。
１５．まとめ 　　　　 前半のまとめと補足，演習など　

1. Simple modules 1 : Simple modules, semisimple modules
2. Simple modules 2 : Radicals, socles radical and socle series of modules,
3. Simple algebras 1: The structure of simple algebras

4. Simple algebras 2 :Wedderburn's theorem
5. Group algebras 1 : Group Algebras, Maschke's theorem
6. Group a;gebras 2: Brauer's theorem on the number of simple modules.
7. Indecomposable modules 1: Indecomposable modules, Krull-Schmidt's theorem
8. Indecomposable modules 2: Indecompable modules for cyclic group algebras
9. Free modules1 : Characterization of free modules and indecomposable projective modules.
10. Free modules2: Correspondences between the indecomposalbe projective modules and simple modules.
11. Free modules 3: The structure of indecomposable modules for groups with normal cyclic Sylow subgroups.
12. Duality: Dual modules, injective modules
13. Tensor product 1: Tensor product of modules for group algebras, Hom-space.
14. Tensor product 2: Indecomposable projective modules for 2-dimensional special linear groups over a prime field.
15. Summary

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