環と加群１｜シラバス情報

科目授業名称（和文）　Name of the subject/class (in Japanese)

環と加群１

科目授業名称（英文）　Name of the subject/class (in English)

Rings and Modules 1

授業コード　Class code

9911359

科目番号　Course number

11MAALG303

教員名

吉川　祥

Instructor

Sho Yoshikawa

開講年度学期

2024年度前期

Year/Semester

2024/1st semester

曜日時限

月曜4限

Class hours

Mon 4

開講学科・専攻　Department

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

単位数　Course credit

2.0単位

授業の方法　Teaching method

講義

Lecture

外国語のみの科目（使用言語）　Course in only foreign languages (languages)

-

授業の主な実施形態　Main class format

① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

概要　Description

１年次で学んだ行列の対角化（あるいは線形変換の対角化）は理論的にも実践的にも重要なトピックである。しかし、対角行列に変形できない行列や線形変換も多数存在する。そのような場合でも、ジョルダン標準形という（対角行列よりは多少扱いにくいが）十分扱いやすい標準形に変形することが出来る。本講義ではこの理論を以下の２つの観点から解説する。
・講義の前半では、線形代数的な手法を用いてジョルダン標準形の理論を解説する。
・講義の後半では、１年次の線形代数学でのベクトル空間および線形変換の理論の一般化として「環上の加群」学ぶ。その準備のもと、単項イデアル整域上の有限生成加群について詳しく調べる。そこでの結果を１変数多項式環の場合に適用することにより、ジョルダン標準形の理論を再解釈する。

目的　Objectives

概要でも述べたように、まずは線形代数学の延長としてジョルダン標準形の理論を学び、更に、加群というより自由度の高い概念を学ぶことでその応用としてジョルダン標準形の理論を再度学ぶ。この授業では、ジョルダン標準形という一つのトピックを多角的な視点でとらえる方法論を身につけることを目標とする。より実践的には、問題演習を通じて、与えられた行列や線形変換のジョルダン標準形を実際に計算できるようになることも重要な目的である。

到達目標　Outcomes

(1) 線形代数学の延長としてのジョルダン標準形の理論を理解し、与えられた行列のジョルダン標準形を求めることができる。
(2) 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を理解し、与えられた加群の構造を決定できる。
(3) 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の視点からのジョルダン標準形の理論を理解する。

卒業認定・学位授与の方針との関係（学部科目のみ）

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/

履修上の注意　Course notes prerequisites

２年次までの代数学分野（特に線形代数１・２と代数学２）の授業内容を理解していること。

アクティブ・ラーニング科目　Teaching type（Active Learning）

-

準備学習・復習　Preparation and review

レポート問題に取り組むほか、各回の授業ごとに準備学習・復習を各々１時間程度行うこと。

成績評価方法　Performance grading policy

到達度評価試験およびレポート課題の提出状況により、総合的に評価する。

学修成果の評価　Evaluation of academic achievement

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

教科書　Textbooks/Readings

教科書の使用有無（有=Y , 無=N）　Textbook used(Y for yes, N for no)

N

書誌情報　Bibliographic information

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MyKiTSのURL（教科書販売サイト）　URL for MyKiTS(textbook sales site)

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書・その他資料　Reference and other materials

三宅敏恒「線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ」培風館
池田岳「テンソル代数と表現論」東京大学出版会
堀田良之「代数入門---群と加群---」裳華房

授業計画　Class plan

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行い，それらの概念を学び理解する．
第1回：線形代数学復習，ベクトル空間，線形写像，表現行列，ベクトル空間の直和
第2回：環論復習，体上の多項式環，自己準同型環
第3回：最小多項式，固有多項式，固有値，固有ベクトル，対角化
第4回：一般固有空間，一般固有空間分解
第5回：ジョルダン標準形，べき零変換
第6回：ジョルダン標準形の計算方法
第7回：これまでのまとめ．
第8回：環上の加群，部分加群，剰余加群，準同型
第9回：自由加群，加群の生成系，階数
第10回：単項イデアル整域上の加群，自由加群の部分加群
第11回：単因子論，行列の基本変形，単因子
第12回：単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理，有限生成アーベル群の基本定理
第13回：ジョルダン標準形再論
第14回：ここまでのまとめと演習
第15回：到達度評価と解説：これまでの理解度を試験により評価する。

授業担当者の実務経験　Work experience of the instructor of the class

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教育用ソフトウェア　Educational software

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備考　Remarks

授業でのBYOD PCの利用有無　Whether or not students may use BYOD PCs in class

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授業での仮想PCの利用有無　Whether or not students may use a virtual PC in class

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