幾何学２ A組

Geometry 2 A組

9911250

11MAGEO202

梶ヶ谷　徹、小池　直之

2024年度後期

月曜3限、金曜3限

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

3.0単位

講義/演習

Lecture/Seminar

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

この講義では、曲面論について学びます。曲面論とは，3次元ユークリッド空間内の曲面(滑らかな2次元図形)の局所的な幾何学的性質，及び，ガウス・ボンネの定理(大域版)をはじめとする曲面の大域的な幾何学的性質について調べる理論です。曲面論の高次元版として，n(≧4)次元ユークリッド空間内の超曲面論があり，この理論についても触れることにします。
この講義で学ぶ内容は，3年生で学ぶ微分幾何学の基礎となるものです。微分幾何学は，理論物理学におけるアインシュタインの一般相対性理論・ゲージ理論・超弦理論等を数学的に学ぶ上で基礎となる分野です。

微分幾何学を学ぶ上で基礎となる3次元ユークリッド空間内の曲面論(さらに，n(≧4)ユークリッド空間内の超曲面論)について，基礎知識を身に付けることを目的とする。

微分幾何学を学ぶ上で基礎となる3次元ユークリッド空間内の曲面論(さらに，n(≧4)ユークリッド空間内の超曲面論)について，基礎知識を身に付けることを目標とする。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

演習も同時に履修しなければならない。

小テストの実施　Quiz type test

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毎週、授業当日にLetus上で公開する講義プリントをダウンロードした上、対面授業(90分)に臨んでください。また、当日、Letus上で公開する練習課題のプリントをダウンロードし、次週までに、授業で板書した内容，及び講義プリントを復習するとともに、練習問題を解いてみてください。必要に応じて練習問題の一部をレポートとして提出してもらう予定です。次週、練習課題の解説プリントをLetus上に公開します。

数回提出してもらう講義と演習のレポ−ト，及び定期試験により、成績を評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

教科書：積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学〜ストークスの定理から変分公式まで〜　(小池直之著，共立出版）

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書：理論物理に潜む部分多様体幾何〜一般相対性理論・ゲージ理論との関わり〜（小池直之著，共立出版）

1　第１基本形式・概複素構造
　　曲面上の第１基本形式(これは，最も自然に定義される曲面上のリーマン計量で
　　誘導計量ともよばれる)，及び，向きづけられた曲面上の自然に定義される
　　概複素構造について学ぶ．
2　スカラー場・ベクトル場の方向微分
　　曲面上のスカラー場と曲面に沿うベクトル場の方向微分について学ぶ．
3　接ベクトル場の共変微分
　　曲面上の接ベクトル場の共変微分について学ぶ．
4　形作用素・第2基本形式
　　曲面の形作用素・第2基本形式について学ぶ．曲面の形は，形作用素(または，
　　第2基本形式)の情報によりおおよそ決定される.
5　主曲率・ガウス曲率・平均曲率
　　曲面の主曲率・ガウス曲率・平均曲率，及び，それらの幾何学的意味について学ぶ．
6   主曲率の計算
　　主曲率を具体的に計算する力を身につけてもらう．
7   面積汎関数
　　正則局所曲面の滑らかな変形，及び，正則局所曲面からなる集合上の面積汎関数
　　について学ぶ．
8   面積汎関数の変分公式
　　面積汎関数の第1変分公式について学び，その結果，極小曲面が面積汎関数の
　　臨界点であることを学ぶ．
9　曲面上の曲線に沿う接ベクトル場の共変微分
　　曲面上の曲線に沿う接ベクトル場の共変微分について学ぶ．
10   平行ベクトル場・測地線
　　  曲面上の曲線に沿う接ベクトルの平行性，及び，曲面上の測地線について学ぶ．
11   平行ベクトル場と測地線の存在性・一意性，及び，平行移動の線形性
　　  曲面上の曲線に沿う平行ベクトル場と曲面上の測地線の存在性・一意性について学び，
　　  その後，曲面上の曲線に沿う平行移動，及び，その線形性について学ぶ．
12   ガウス・ボンネの定理(局所版)
　　  ガウス・ボンネの定理(局所版)について学ぶ．前半部では，定理の内容を説明し，
　　  後半部では，定理の証明(前半部)について説明する．
13   ガウス・ボンネの定理(局所版)(続)
　　  ガウス・ボンネの定理(局所版)の証明を完成させる．その後，応用として，
　　  球面をはじめとする基本的な曲面上の(測地)三角形の内角の和がπより
　　  大きくなったり，小さくなったりすることを認識してもらう．
14   ガウス・ボンネの定理(大域版)
　　  向き付けられた閉曲面を三角形分割して，各三角形領域上でガウス・ボンネの定理
　　  (局所版)を適用することにより，ガウス・ボンネの定理(大域版)が導かれることを学ぶ．
15   達成度評価と解説
　　  当該授業における達成度を到達度評価により確認する．
　　  その後，授業として当該授業科目の内容の総括を行う。

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