微分幾何学１

Differential Geometry 1

9911155

11MAGEO301

梶ヶ谷　徹、小池　直之

2024年度前期

水曜3限、木曜4限

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

3.0単位

講義/演習

Lecture/Seminar

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① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

幾何学2で学んだ曲面論を基礎として，リーマン幾何学をはじめとする微分幾何学を学ぶ上で土台となる多様体論について学ぶ．微分幾何学は，現在もなお急速に発展し続けている分野であり，幾何学のみでなく偏微分方程式論やリー群論をはじめとする解析学，代数学の分野とも密接な関わりをもつ学問である．また，一般相対性理論・ゲージ理論・超弦理論をはじめとする理論物理学の分野とも密接な関わりをもっている．

多様体論の基礎的内容を学ぶことを目標とする。

多様体論の基礎的内容を本質的に理解してもらうことを目標とする。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

演習も同時に履修しなければならない．

小テストの実施　Quiz type test

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毎週、授業当日にLetus上で公開する講義プリントをダウンロードした上、対面授業(90分)に臨んでください。また、当日、Letus上で公開する練習課題のプリントをダウンロードし、次週までに、授業で板書した内容，及び講義プリントを復習するとともに、練習問題を解いてみてください。必要に応じて練習問題の一部をレポートとして提出してもらう予定です。次週、練習課題の解説プリントをLetus上に公開します。

数回提出してもらう講義と演習のレポ−ト，及び，定期試験により成績を評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

教科書：理論物理に潜む部分多様体幾何〜一般相対性理論・ゲージ理論との関わり〜　（小池直之著，共立出版）

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

・参考書：積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学〜ストークスの定理から変分公式まで〜　(小池直之著，共立出版)
・参考書：平均曲率流〜部分多様体の時間発展〜（小池直之著，共立出版）

1　多様体
　　曲面の一般化概念である多様体を定義し，最も基本的な例としてn次元球面を紹介する．
2　多様体の例・複素多様体・ヒルベルト多様体
　　前半部では，多様体の発展的例として射影空間・グラスマン多様体を紹介し，後半部
　　では，他種の空間として，複素多様体とヒルベルト多様体を紹介する．
3　微分可能写像
　　多様体間の写像の微分可能性について学ぶ．
4　リー群
　　リー群(これはある種の群構造を備えた多様体)について学ぶ．その例として行列群を
　　紹介する．
5　接空間(その１)
　　多様体の接ベクトルおよびその集まりである接空間をについて学ぶ．
6　接空間(その２)
　　接空間がベクトル空間であることを証明する．
7　関数の方向微分・写像の微分
　　多様体上の微分可能関数の接ベクトルに関する微分，及び多様体間の微分可能写像
　　の(全)微分写像をについて学ぶ．
8　臨界点・正則点
　　微分可能写像の臨界点・正則点・正則値をについて学ぶ(例をいくつか紹介する)．
9　部分多様体　
　 　正則値の原像が部分多様体であることを証明する(この証明は陰関数定理
　　を用いて遂行される)．
10　(接)ベクトル場と接ベクトルバンドル
　　(接)ベクトル場，及び接空間を束ねた集合である接ベクトルバンドルについて学ぶ．
　　((接)ベクトル場が接ベクトルバンドルの切断として定義されることを説明する．)
11　局所１パラメーター変換群
　　  局所１パラメーター変換群の概念，及びこの概念と(接)ベクトル場との対応関係
　　  について学ぶ．
12　局所１パラメーター変換群の例
　　  局所１パラメーター変換群の例をいくつか紹介する．
13   ベクトル場のリー微分
　　  局所１パラメーター変換群を用いてベクトル場のリー微分を定義する．
14   リー群のリー代数・指数写像
         リー群の無限小モデルとしてリー群に付随するリー代数を定義すると共に，その
         リー代数とリー群を結びつける写像である指数写像を定義する．
15　達成度評価と解説　
　　  当該授業における達成度を到達度評価により確認する．
　　  その後，授業として当該授業科目の内容の総括を行う。

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