微分幾何学２

Differential Geometry 2

9911152

11MAGEO302

梶ヶ谷　徹、小池　直之

2024年度後期

水曜3限、木曜4限

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

3.0単位

講義/演習

Lecture/Seminar

-

① [対面]対面授業/ [On-site] On-site class

幾何学2で学んだ曲面論と微分幾何学1で学んだ多様体論を基礎として，リーマン幾何学，及び，ベクトルバンドル・主バンドルの接続理論をはじめとする微分幾何学について学ぶ．
曲面論の一般理論であるリーマン部分多様体論，リーマン部分多様体の標準的モデルを与える
リー群の等長作用についても学ぶ．
微分幾何学は，現在もなお急速に発展し続けている分野であり，幾何学のみでなく偏微分方程式論やリー群論をはじめとする解析学，代数学の分野とも密接な関わりをもつ学問である．また，一般相対性理論・ゲージ理論・超弦理論をはじめとする理論物理学の分野とも密接な関わりをもつ学問です．

リーマン幾何学，及び，ベクトルバンドル・主バンドルの接続理論，さらに，リー群の等長作用の軌道幾何学について学ぶことを目的とする。

リーマン幾何学，及び，ベクトルバンドル・主バンドルの接続理論，さらに，リー群の等長作用の軌道幾何学を本質的に理解することを目標とする。

リンク先の [評価項目と科目の対応一覧]から確認できます（学部対象）。
履修登録の際に参照ください。
​You can check this from “Correspondence table between grading items and subjects” by following the link(for departments).
https://www.tus.ac.jp/fd/ict_tusrubric/​​​

演習も同時に履修しなければならない．

小テストの実施　Quiz type test

-

毎週、授業当日にLetus上で公開する講義プリントをダウンロードした上、対面授業(90分)に臨んでください。また、当日、Letus上で公開する練習課題のプリントをダウンロードし、次週までに、授業で板書した内容，及び講義プリントを復習するとともに、練習問題を解いてみてください。必要に応じて練習問題の一部をレポートとして提出してもらう予定です。次週、練習課題の解説プリントをLetus上に公開します。

数回提出してもらう講義と演習のレポ−ト，及び定期試験により、成績を評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

Y

教科書：理論物理に潜む部分多様体幾何〜一般相対性理論・ゲージ理論との関わり〜（小池直之著，共立出版）

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​​https://mirai.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

・参考書：積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学〜ストークスの定理から変分公式まで〜　(小池直之著，共立出版)
・参考書：平均曲率流ー部分多様体の時間発展ー（小池直之著，共立出版）・多様体(村上信吾著，共立出版)

1　テンソル場・微分形式
　　多様体上のテンソル場・微分形式について学ぶ．テンソル場・微分形式が，各々，
　　テンソルバンドル，外積バンドルとよばれるベクトルバンドルの切断として定義
　　されることも説明する．　
2　リーマン計量
　リーマン計量，さらに相対性理論の時空に与えられるローレンンツ計量の一般概念
　　である擬リーマン計量について学ぶ．
3   リーマン距離関数
       リーマン計量を用いて定義されるリーマン距離関数について学ぶ．
4　多様体の向き　
　　ベクトル空間の向き，及び多様体の向きについて学ぶ．
5　リーマン体積要素・外微分作用素・ド・ラームコホモロジー群
　　前半部では，向きづけられたリーマン多様体のリーマン体積要素について説明し，
　　後半部では，外微分作用素を定義し，さらにその作用素を用いてド・ラームコホモロ
　　ジー群 を定義する．
6　微分形式の積分　
　　微分形式の積分について学ぶ．
7　ストークスの定理・ガウスの発散定理・ド・ラームの定理
　    ストークスの定理を証明し，さらに，その応用として，ガウスの発散定理，ド・ラーム
　　 の定理を証明する．
8　リーマン接続
　    一般に，多様体上のアフィン接続，及びその特別なものとしてリーマン計量に付随して
　　定義されるリーマン接続について学ぶ．
9    測地線・平行ベクトル場・平行移動
　　アフィン接続多様体上の測地線・平行ベクトル場・平行移動について学ぶ．
10  リー群作用
　    リー群の多様体への作用，及び，その軌道幾何について学ぶ．
11  主バンドルの接続
　    主バンドルの接続について学ぶ．
12   曲率テンソル・断面曲率
　      曲率テンソル・断面曲率について学ぶ．
13   リーマン部分多様体論(その1)　
         リーマン部分多様体の第２基本形式・形作用素・法接続について学ぶ．
14   リーマン部分多様体論(その2)　
        リーマン部分多様体の第２基本形式・形作用素・法接続について学ぶ．
15   到達度評価と解説　
　      当該授業における達成度を到達度評価により確認する．
　　  その後，授業として当該授業科目の内容の総括を行う。

-

-

-

N

N