代数学１‐Ａ （２組）

Algebra１‐Ａ （２組）

9962134

61MAALG301

松本　雄也

2023年度前期

水曜2限

Wednesday, 2nd Period.

創域理工学部　先端物理学科

Department of Physics and Astronomy, Faculty of Science and Technology

2.0単位

講義

Lecture

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対面授業 / On-site class

代数系、特に群の理論の基礎についての講義

Lecture on algebraic systems (magmas), especially on basic theory of groups

・数学における大きな分野のひとつである代数学の、基本的な考え方と手法を習得すること。
・抽象的な代数的思考の有用性を実感し自分で実践可能な程度に会得すること。

The purpose of this course is to enable student to:
・acquire basic philosophy and techniques of algebra, which is one of the large academic disciplines in mathematics.
・know utility of abstract algebraic way of thinking, and have an ability for its actual applications.

・群の定義、部分群、準同型、剰余類と剰余類分解の手法、群の準同型定理、群の作用とその応用などの話題に関し、定義や重要な定理を述べることができる。
・理論を形づくる一連の命題、定理たちが成立つメカニズムを説明できる。
・上記の話題に関する、簡単な具体例について計算や説明ができる。

Student should:
・be able to state definitions and significant theorems in the following topics: axiom of groups, subgroups, homomorphisms, methods of cosets and coset decomposition, fundamental theorem on homomorphisms, action of groups and its applications
・be able to explain how a series of propositions and theorems form the theory and give them proofs
・be able to calculate or explain easy examples for the above topics.

数理的推論能力/コンピューター活用能力

特になし
Nothing special

課題に対する作文　Essay

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各回の授業前に２時間、授業後に２時間を目安として準備学習と復習を行うこと。その範囲は各回ごとに指示する。
Two hours for preparation and two hours for reviewing before and after class are expected. Subjects will be indicated each time in class.

授業に臨む積極的態度と、必要に応じ出題されるレポート課題や筆記試験による授業内容の理解度の確認を前提として、到達度評価試験で評価する。
試験問題とレポート問題については、授業時間内またはLETUS上において解答例を提示する予定。

Final exam is evaluated, on the premise of positiveness of participation to classes and checking of understanding level by mid-term test or report depending on the necessity.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

群論・環論の教科書は数多くある。いくつか手に取ってみて、自分に合うものを見つけることを推奨する。
以下、本講義の準備で参考にしたものを挙げておく。
・「代数学」松村英之著 朝倉書店 1990年 ISBN978-4-254-11418-8
・「代数学」永尾汎著 朝倉書店 2019年 ISBN978-4-254-11843-8
・「代数学 I 群と環」桂利行著 東京大学出版会 2004年 ISBN978-4-13-062951-5
・「代数学１群論入門」雪江明彦著 日本評論社 2010年 ISBN978-4-535-78659-2
・「代数学２環と体とガロア理論」雪江明彦著 日本評論社 2010年 ISBN978-4-535-78660-8
・「代数学教本」海老原円著 数学書房 2018年 ISBN978-4-903342-85-6
・「代数学入門」石田信著 実教出版 1978年 ISBN978-4-407-02193-6
・「代数入門--群と加群--（新装版）」 堀田良之著 裳華房 2021年 ISBN978-4-7853-1413-2
・「代数と数論の基礎」中島匠一著 共立出版 2000年 ISBN978-4-320-01561-6
There are many texts on group theory or ring theory. Student should look at several of them and find one which suits him/her. The texts itemized above are all written in Japanese.

１　　序　　　　　代数学についての概説
２　　群（１）　　群の定義といくつかの例
３　　群（２）　　部分群
４　　群（３）　　生成系、生成元、巡回群
５　　群（４）　　対称群
６　　群（５）　　群準同型、核と正規部分群
７　　群（６）　　剰余類、ラグランジュの定理
８　　まとめ　　　既習事項の理解の確認
９　　群（７）　　剰余群
１０　群（８）　　準同型定理
　　　　（９）　　群の直積
１１　群（１０）　群の作用と例、軌道集合と軌道分解、類等式
１２　群（１１）　共役作用と共役類
１３　群（１２）　シローの定理
１４　群（１３）　交換子群、群の可解性など
　　　　（１４）　有限生成アーベル群の構造定理
１５　まとめ　　　到達度評価

1.　Outline of Algebra
2. Definition of Groups and Several Examples
3. Subgroups
4. Generating Systems, Generators, Cyclic Groups
5. Symmetric Groups
6. Homomorphisms, Kernels and Normal Subgroups
7. Cosets and Theorem of Lagrange
8. Review
9. Quotient Groups
10. Fundamental Theorem of Homomorpshism
　　Direct Product of Groups
11. Action of Groups and Its Examples, Orbit Set and Orbit Decomposition, Class Equation.
12. Conjugate Action and Conjugacy Classes
13. Sylow's Theorem
14. Commutator Subgroups, Solvable Groups
Structure of Finitely Generated Abelian Groups
15. Overall Review

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授業計画は暫定的なものであり、授業の進み具合等により、いくつかの話題は変更する可能性もある。
Some topics in the Class plan could be omitted or changed depending on participants' understanding.