確率論特論 （博士後期課程用）

Advanced Probability Theory (Doctor)

991BZ38

11MAPTS503

金子　宏

Hiroshi Kaneko

2023年度後期

Autumn semester

月曜3限

Mon.,  13:00-14:30  (Period 3)　

理学研究科　応用数学専攻　

Department of Applied Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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ブレンド型授業/Blended format
（対面授業/On-site classオンライン授業（非同期）/Online (asynchronized remote)）　　

この講義は，教科書J. M. Steel著 "Stochastic Calculus and Financial Applications" に倣って，ブラウン運動やマルチンゲ−ルなどが，解析学で扱われる幾つかの方法論やベクトル空間を用いた考察対象の把握にいかに密接に関連しうるのかを，数理ファイナンスで中心的な役割を持つ方程式等をケーススタディとし，概念や技法について習得する．これらの数学的基礎を含む相互関連に基づいて，ファイナンスの分野への応用が捉えられるようにする．割引率を決定づけるほどの情報量をもつ最適化理論の適用にも道筋がつくよう学習する。

This course provides an introduction to mathematical concepts and techniques used in quantitative finance and includes approaches from calculus, linear algebra and probability, emphasizing their inter-relationships and applications to the financial area; develops problem solving skills with a particular significance of conditional expectations; introduces students to a use of informative optimization method for deriving state price deflator.

数理ファイナンスあるいはエージェントにおける最適化問題など，実社会に役立ち得る確率過程論の基礎知識に精通すべく，数理ファイナンスの数理的基礎を学ぶことが目的である．派生証券の価格付け理論など，諸分野との関連が発生しうる，学際的な数学の価値を認める方向に勇気付けられるよう，講義内容が吟味されている．

The objective of this course is to acquaint students with mathematical finance, typical optimization methods in agent problems and descriptive stochastic models potentially with real-world applications. This course is designed to build confidence and encourage an appreciation of
cross-disciplinary field such as option pricing theory in quantitative finance.

確率過程の有用性および多面性を理論的な枠組みを通して把握できるようになることが目標として設定されている。　

On successful completion of this course student will be able to:
•Demonstrate understanding of mathematical concepts relating to securities and annuities.
•Demonstrate conceptual understanding of stochastic processes such as martingales and Markov processes.
•Use appropriate conditional expectation and optimization method to aid problem solving.
•Employ methods related to these concepts in a variety of financial application and/or in real-world applications.

測度論的な方向付けに基づく確率論の知識は前提とされている．ただし，ファイナンスに関する学問的背景は前提としていない．

Knowledge on measure theoretical probability theory as lectured in Probability Theory 1 in the graduate course is required. This course assumes no prior background in finance.

ディベート・ディスカッション　Debate/Discussion

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事象を特定するための集合論における公理論的扱いが、直観的理解と同期しうることに注意しつつ復習することや，　確率過程について予習することが推奨される。特に，目的に適した可測性を，ランダムネスの把握のための生かすことに慣れていない受講者にとって，このことは重要である。

Occasional self-study on measure theoretical probability on the basis of set theoretical axioms and pre-studies on stochastic processes are vital for success in this course, especially for student(s) unaccustomed to descriptive grips on randomness with objectively specified measurability.

最終レポートがどれほどオリジナルな発想に基づいているかによって判断する。基本的には，最終レポートが評価の１００％であるが，課題の解答を最大１５%程度の確定点への加点要素として，総合的な評価を行う。最終レポートは，講義内容がどのように各自の専門分野を修める立場から，知見の深化に資するものであったかを尋ねる趣旨のものであるので，提出者により内容が異なると考えられるが，類似したレポートがいくつか堤出された場合は再度レポートの提出を要請する場合がある。最終レポートの詳細は年内に明示する。（評価には組み入れない範囲で剽窃チェックを行う。）

End-of-semester assignment is 100% of total marks and the mid semester assignment is separately endorsed at most 15%. The details of end-of-semester assignment will be announced at the latest in December.　(Plagiarism check　will be formally conducted.)

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

必要なら，以下の文献のうちの数ページのスキャンデータをLETUSにマウントする．

Scanned images of several pages in the following materials would be mounted on LETUS server：

J.M. Steel著 "Stochostic Calculus and Financial Applications", Springer
Oksendal著 "Stochastic Differential Equations", Springer．

同期遠隔を中心として行うが，適宜，事前通知により，ハイフレックス ，ブレンド型授業に置き換える場合
がある。

以下の各見出しはおよそ一回の授業に相当するが，理解度に応じて，多少進め方を変更する場合がある。

最初の2，3回は，条件付期待値について以下の１〜4の事項を扱う：

1 　　条件付期待値

2 　　離散モデルにおける条件付期待値

3 　 確率密度関数に基づく条件付期待値

4 　 射影としての条件付期待値からシグマ加法族に基づく条件付期待値へ

その次の４,5回でマルティンゲールについての以下の5〜8の事項を扱う：

5 　　ランダムウォークモデル
　　 　　
6 　　複数の確率変数に基づく条件付期待値とマルティンゲール

7 　　マルティンゲール変換と任意抽出定理

8 　　マルティンゲールによる問題解法，マルティンゲール不等式

さらにその次の3,4回で，確率過程と証券および市場について以下の9〜12の事項を扱う；

9　　確率過程と証券市場 　　
　　　投資戦略過程とノーアービトラージュ
　　　（利率、配当、満期についての説明は簡潔にとどめる。）

10　　リスク中立測度とデフレーター 　　
　　　同値なマルチンゲール測度と無リスク債券
　　　（内積空間の扱いには習熟しているものとする。）

11　　派生証券の価格付けとエージェントの最適行動 　　
　　　リスク中立測度の存在条件
　　　（多次元での微積分学とコンパクト集合などについての理解が必要である。）

12 マルコフ過程モデルにおける最適戦略とベルマン原理

またさらにその次の3,4回で，確率過程と証券および市場について，以下の１3〜15の事項を扱う；

13 　　ブラウン運動 　　
　　　（多次元の確率変数についての習熟がある程度必要である。）

14　　一様可積分性と連続時間変数の場合のマルティンゲール不等式

15　　サーベイから確率積分へ 　　
　　　これまでに消化できなかった内容や，講義内容の延長として興味が新たに
　　　もたれそうな事項を，受講者による提案なども交えつつ概観する。あるいは
　　　示唆的なコンテンツ教材を使用した，これまでに扱った理論の適用例の紹介
　　　を行う。適宜確率積分について概要を解説する。



Each module will consist of 3 or 4 lectures in average:

Module No.1 Conditional Expectation
-- intuitive problem solving with conditional expectation
-- conditional expectation in discrete model
-- conditional expectation in continuous model
-- conditional expectation as a projection
-- conditional expectation induced by a sub-sigma-field

Module No.2 Martingale
-- random walk model
-- conditional expectation given by multiple random variables
-- martingales
- -martingale transform
-- martingale inequalities with discrete time parameter
-- problem solving with martingale

Module No. 3 No arbitrage and completeness of market
-- no arbitrage
-- completeness of market
-- state price deflator
-- agent problem
-- optimal strategy

Module No. 4 Stochastic processes with continuous time parameter
-- standard Brownian motion
-- martingale inequalities with continuous time parameter
-- uniform integrability
-- stochastic integral


This time-based plan might be rescheduled according to progress of the study.
Class format of each lesson will be assigned in advance by the instructor.

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Letus が使えない場合に限り，講義担当者への連絡用メールアドレス，　1skanekoken(アットマーク）gmail.com　をお使いいただいて大丈夫です．　
n case of emergency or urgent matters, please contact: 1skanekoken(アットマーク）gmail.com.

年度によっては受講者の希望などにより，伊藤の公式などについて解説をすることがある。　　
On demand basis, Ito's formula could be substituted for some topics in the final module.

COVID-19の公的抑制策等に応じる形で，このシラバスを改訂する場合があります．
This syllabus might be revised according to the public health strategies for COVID-19 prevention.