代数学特論（四）

Advanced algebra 4

991BA89

11MAALG506

吉川　祥

Sho Yoshikawa

2023年度後期

2nd semester, 2022

水曜2限

Wed 2

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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対面授業/On-site class

代数関数体の基礎理論を解説する。代数曲線Cに対して、その上の「有理関数」たちのなす集合K(C)は体をなす。このようにして得られる体は代数関数体と呼ばれる。実はK(C)は本質的にはCの情報を失っていないので、代数的な対象であるK(C)を代数学の手法で調べることにより、曲線Cの性質を導くことが出来る。
この授業では、代数関数体の代数的な取り扱いに焦点を当てて説明する。幾何学的な話は敢えて行わない予定である。

This lecture treats the basic theory of algebraic function fields. For an algebraic curve C, the set of "rational functions" forms a field. Such fields are called algebraic function fields. Because ttaching K(C) to C does not (essentially) lose any information of C, we can expect to get properties of the curve C by studying the algebraic object K(C) (via an algebraic method).
In this lecture, I will focus on the algebraic side of the theory, and will not treat so much about its geometric side.

体とガロワ理論の続きとして、代数関数体というより具体的なクラスの体についての取り扱いと性質について習熟する。
特に、Riemann-Rochの定理と有限体上の代数関数体に対するWeil予想について学ぶことが目的である。

To understand the Riemann-Roch's theorem and Weil conjecture for algebraic function fields over finite fields.

目的に述べたように、代数関数体に対するRiemann-Rochの定理と、Weil予想の特別な場合が、この講義の2つのポイントとなる。
これらの主張と証明のアイディアを理解出来るようになることが目標である。

As explained in "Objectives", the two main points of this lecture is the Riemann-Roch's theorem and the Weil conjecture (for algebraic function fields over finite fields). Students are expected to understand the statements of these two theorems and the idea of the proofs.

学部２年次の「代数学2」の内容である環、体の基礎理論を習得していること。また、「環と加群１」「環と加群２」「体とガロワ理論」を履修していることが望ましい。

Acquisition of basic theories of rings and fields, which are the contents of "Algebra 2" in the undergraduate second year. In addition, it is desirable to take "Rings and modules 1, 2" and "fields and Galois theory" in the undergraduate third year.

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予習・復習にそれぞれ一時間程度は必須である。授業でできなかった細かな証明などは自分で試してみることが必要である。

One hour is required for each preparation and review. It is necessary to try out the detailed proofs that could not be done in class by yourself.

毎回の講義での取 組み状況・確認テストなどの平常点(40〜60%)、複数回のレポート課題(40〜60%)の結果を、 総合的に評価する。

Evaluate comprehensively the status of each lecture, the status of the confirmation test, the normal points (40-60%) of the test, and the results of the achievement evaluation reposrts(40-60%).

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

David M. Goldschmidt, "Algebraic functions and projective curves", Graduate Texts in Mathematics 215, Springer.
他に参考資料があれば授業中に紹介する。

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行い、それらの概念を学び理解する。進度によって変更になることもある。
１．体の付値1
２．体の付値2
３．完備化
４．微分形式
５．留数
６．因子
７．Riemann-Rochの定理1
８．Riemann-Rochの定理2
９　留数と双対性
１０．これまでのまとめ
１１．代数関数体の拡大1
１２．代数関数体の拡大2
１３．有限体上の代数関数体
１４．代数関数体のWeil予想1
１５．代数関数体のWeil予想2

Each lecture is based on the following themes and keywords to learn and understand those concepts.
1. valuations of fields 1
2. valuations of fields 2
3. completions
4. differential forms
5.  residues
6. divisors
7. Riemann-Roch's theorem 1
8. Riemann-Roch's theorem 2
9. residues and duality
10. summary
11. extensions of algebraic function fields 1
12. extensions of algebraic function fields 2
13. algebraic function fields over finite fields
14. Weil conjecture for algebraic function fields 1
15. Weil conjecture for algebraic function fields 2

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