代数学特論（三）

Advanced algebra 3

991BA88

11MAALG505

吉川　祥

Sho Yoshikawa

2023年度前期

2023/1st semester

水曜2限

Wed 2

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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対面授業/On-site class

基礎的な体論や群論の知識をもとに、Lubin-Tate理論を用いた局所類体論を解説する。
実数体Rは局所体（local field）と呼ばれる体の一種だが、この（代数的な）体拡大はR自身と複素数体Cしかないため、Galois理論の観点からは実数体Rはとても簡単である。一方、Rと並行して各素数pに対してp進体と呼ばれる局所体があり、その拡大のようすはRの時に比べると複雑（だが複雑すぎない）となっている。こういった局所体に対して、Galois群がアーベル群となるような拡大のようすを記述する理論が局所類体論である。局所類体論は、現代の整数論において基本的かつ本質的に重要な理論である。

Based on basic knowledge on field theory and group theory, I will explain the local class field theory via Lubin-Tate theory.
The local class field theory treats local fields. The field R of real numbers is an example of local fields, and it is an "easy" object in terms of the Galois theory. On the other hand, there is another kind of local fields, which is called the p-adic field with p a prime number. The Galois theory for such a field is much more complicated (but not too complicated!) than the case of R, and the local class field theory is the theory which describes (abelian) extensions of local field in a very unified way. The local class field theory is a good starting point of modern number theory.

局所体のアーベル拡大を理解する。トピック自体は整数論ではあるが、基礎から余裕を持って解説するよう心がけるので、幅広い学生に聴講してもらいたい。

The objective is to understand how to describe abelian extensions of a given local field.

・体の付値・絶対値について理解する。
・局所体の基本的な性質（分岐など）について理解する。
・局所類体論の主定理の意味を理解する。
・例を計算できるようになる。

1. to understand the concept of valuations of a field.
2. to understand basic properties of local fields.
3. to understand the main statement of the local class field theory.
4. to become able to treat concrete examples.

体とガロワ理論を理解しておくことが望ましい。必要に応じて復習をする。

Students should understand the field theory and the Galois theory. Such basic knowledges will be reviewed if necessary.

小テストの実施　Quiz type test／ディベート・ディスカッション　Debate/Discussion

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各回の授業ごとに復習を各々1、2時間程度行うこと。時間外でも積極的に質問をすること。

Students should study by himself/herself for a few hours for each class. Any questions will be welcome!

中間レポートと期末レポートによって評価する。

Students will be graded by a mid-term report and a final report.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
​https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/​​​

J. S. Milne "Algebraic Number Theory"（オンライン）
J. S. Milne "Class Field Theory"（オンライン）
その他、必要に応じて授業内で紹介する。

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行う。進行具合によって、多少前後することがある。
第１回：付値と絶対値
第２回：完備化
第３回：局所体とその性質
第４回：局所体の拡大1
第５回：局所体の拡大2
第６回：Krasnerの補題
第７回：まとめ
第８回：類体論のための準備（無限次Galois理論）
第9回：局所類体論の定式化1
第１0回：局所類体論の定式化2
第１1回：formal group lawとLubin-Tate group law 1
第１2回：formal group lawとLubin-Tate group law 2
第１3回：局所Artin写像と主定理の証明1
第１4回：局所Artin写像と主定理の証明2
第１５回：まとめと到達度評価

1. valuations and absolute values
2. completions
3. local fields and their properties
4. extensions of a local field 1
5. extensions of a local field 2
6. Krasner's lemma
7. summary
8. preparation for the local class field theory
9. the statement of the local class field theory 1
10. the statement of the local class field theory 2
11. formal group laws and the Lubin-Tate group law 1
12. formal group laws and the Lubin-Tate group law 2
13. the local Artin map and the proof of the main theorem 1
14. the local Artin map and the proof of the main theorem 2
15. summary

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