代数学講究4 （功刀）

Research in algebra 4 （功刀）

991B543

11MAALG602

功刀　直子

Naoko Kunugi

2023年度後期

2022 Second Semester

金曜3限

Friday 3rd. Period

理学研究科　数学専攻

Department of Mathematics, Graduate School of Science

2.0単位

講義

Lecture

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対面授業/On-site class

有限群のモジュラー表現論の基本事項をセミナー形式で学ぶ。　　

We learn about basic concepts of modular representation theory of finite groups in seminar style classes.

有限群のモジュラー表現では，群環上の加群は半単純加群とはならない。半単純ではない加群の構造を調べるうえで重要となる多元環の表現論の一般論を学び，有限群のモジュラー表現論に応用する。

In modular representations of finite groups, a module over a group algebra is not semisimple in general.　
In this course, we aim at learning general theory on representation theory of finite dimensional algebras which is important for investigation of non-semisimple modules and applying those to modular representations of finite groups.

1. 群環上の加群の議論に特有なvertex, source 等について理解する。
2．Green対応の理論を用いて直既約加群の構造を調べる手法を理解し，具体例に応用できる
3．有限群のブロックに関するBrauerの理論を理解する。

1．Understand verticies and sources for modules over group algebras
2. Understand general method to investigate indecomposable modules using theory of Green correspondences and apply them to some examples.
3. Understand Brauer's theory for blocks of finite groups.

特になし。
Nothing special.

プレゼンテーション　Presentation

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毎回授業の前に，予習，復習を必ず行うこと（10時間）
Be sure to prepare and review before each class (10 hours)

プレゼンテーションの出来ばえ，議論への参加の積極性を加味して評価する。

To be evaluated in taking account of the presentation's performance level and positiveness of participation in discussion.

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

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J. L. Alperin "Local representation theory"
永尾・津島　有限群の表現

１．誘導加群１　　　誘導加群について学ぶ。
２．誘導加群２　　　Mackey の分解定理について学ぶ
３．誘導加群３　　　Green の直既約性定理について学ぶ
４．バーテックスとソース１　相対射影性について学ぶ
５．バーテックスとソース２　加群のvertex, source について学ぶ
６．TI-set１　　　　　TIの設定に対するGreen 対応の理論を学ぶ
７．TI-set２　　　　　素体上の2次特殊線形群についての例を扱う。
８．Green対応１　　一般的な設定におけるGreen対応の理論を学ぶ。
９．Green対応２　　Burry-Carlson-Puig の定理について学ぶ。
１０．ブロックと不足群１　ブロック分解について基本事項を学ぶ。
１１．ブロックと不足群２　ブロックの不足群，不足群とvertex の関係などを学ぶ。
１２．Brauer対応　　　ブロック誘導，Brauer の第1主定理，第2主定理について学ぶ。
１３．標準加群　　　　　ブロックの被覆について学ぶ。
１４．Subpair　　　　　　ブラウアーの第3主定理，subpair について学ぶ。
１５．これまでのまとめと補足　

1. Induced modules 1: Definitions of induced modules, relatively free module
2. Induced modules 2: Mackey's decomposition theorem
3. Induced modules 3: Green's indecompsability theorem
4. Vertices and sources 1:Relative projectivity
5. Vertices and sources 2: Vertices and sources of modules
6. Trivial intersections 1: Green correspondences under trivial intersection setting
7. Trivial Intersections 2: Examples of 2-dimensional special linear groups
8. Green correspondences 1: Green correspondence in general setting
9. Green correspondences 2: Burry-Carlson-Puig's thoerem
10. Blocks and defect groups 1:Block decompositions for finite group algebras,
11. Blocks and defect groups 2:Defect groups of a block, relations between defect groups and verticies
12. Brauer correspondences: Block induction, Brauer's First and second Main Theorem
13. Canonical modules: Covers of blocks,
14 Subpairs: Subpairs,Brauer's Third Main Theorem
15. Summary

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