積分論｜シラバス情報

科目授業名称（和文）　Name of the subject/class (in Japanese)

積分論

科目授業名称（英文）　Name of the subject/class (in English)

Integration Theory

授業コード　Class code

9911358

科目番号　Course number

11MAANA301

教員名

深谷　法良、加藤　圭一

Instructor

Keiichi Kato, Noriyoshi Fukaya

開講年度学期

2023年度前期

Year/Semester

2023/First semester

曜日時限

月曜2限、月曜3限

Class hours

Monday 2nd period, Monday 3rd period

開講学科・専攻　Department

理学部第一部　数学科

Department of Mathematics, Faculty of Science Division Ⅰ

単位数　Course credit

3.0単位

授業の方法　Teaching method

講義/演習

Lecture/Seminar

外国語のみの科目（使用言語）　Course in only foreign languages (languages)

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授業の主な実施形態　Main class format

対面授業/On-site class

概要　Description

現代数学の重要な基礎理論の1つであるLebesgue積分論を基礎から解説する。

目的　Objectives

Lebesgue積分論が解析学専攻の学生の必修科目であることは言うまでもないが、数学のさまざまな分野（例えば確率論等）で大変有用な理論である。その理由の1つとして、積分と極限の順序交換や積分記号下での微分に関する定理がRiemann積分のときよりも簡明であることがあげられる。本講義では，最初にR上のルベーグ積分を紹介し，その後で一般の集合上のルベーグ積分について解説する．

到達目標　Outcomes

１．Lebesgue積分が，Riemann積分に対して有利な点について理解する．
２．Lebesgueの優収束定理が具体的な問題で使えるようになる．
３．具体的な問題で，微分と積分の交換可能か判定できるようになる．
４．実数上のLebesgue積分の概要が説明できる．

卒業認定・学位授与の方針との関係（学部科目のみ）

問題発見・解決能力

履修上の注意　Course notes prerequisites

１年次の「微積分学」で学んだεーδ論法の復習をしておくことおよび１年次の「論理と集合」の集合の部分を復習しておくこと．

アクティブ・ラーニング科目　Teaching type（Active Learning）

課題に対する作文　Essay

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準備学習・復習　Preparation and review

必ず授業の復習をすること．レポート課題を授業の補助として与えるので，必ず提出すること．

成績評価方法　Performance grading policy

演習の成績（演習での課題提出）30%, 平常点（課題提出）10%, 到達度評価60%で評価する．

学修成果の評価　Evaluation of academic achievement

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

教科書　Textbooks/Readings

教科書の使用有無（有=Y , 無=N）　Textbook used(Y for yes, N for no)

N

書誌情報　Bibliographic information

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MyKiTSのURL（教科書販売サイト）　URL for MyKiTS(textbook sales site)

教科書および一部の参考書は、MyKiTS (教科書販売サイト) から検索・購入可能です。
It is possible to search for and purchase textbooks and certain reference materials at MyKiTS (online textbook store).
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書・その他資料　Reference and other materials

藤田宏・吉田耕作著「現代解析入門」後篇測度と積分（岩波書店）
テレンス・タオ「ルベーグ積分入門」（朝倉書店）

授業計画　Class plan

第１回　ルベーグ積分の必要性
リーマン積分の問題点とルベーグ積分の有利な点を理解する．
第２回　R上のルベーグ可測集合と測度
R上の零集合，ルベーグ可測集合，ルベーグ測度について理解する．
第３回　ルベーグ可測集合の性質
ルベーグ可測集合の基本的な性質を理解する．
第４回　ルベーグ測度，ルベーグ可測関数
ルベーグ測度の基本的な性質を理解する．また，ルベーグ可測関数の定義と基本的な性質について理解する．
第５回　ルベーグ積分
ルベーグ積分の定義および基本的な性質について理解する．
第６回　Fatouの補題，ルベーグの優収束定理
Fatouの補題およびルベーグの優収束定理について理解し，使い方を学ぶ．
第７回　ルベーグ積分とリーマン積分の関係
リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能であって，その積分の値は一致することを理解する．
第８回　カラテオドリによる測度の構成
カラテオドリの方法によるルベーグ測度の導入について理解する．
第９回　ボレル可測とルベーグ可測
ボレル可測とルベーグ可測の違いを理解する．
第１０回　ルベーグ測度の完備性
ルベーグ測度の完備性について理解する．
第１１回　フビニの定理１
単関数に対するフビニの定理の証明を理解する．
第１２回　フビニの定理２
フビニの定理の証明を理解する．
第１３回　フビニの定理3
フビニの定理の応用の仕方を理解する．
第１４回　微分と積分の関係
絶対連続関数はほとんど至る所微分可能で積分して元に戻ることを理解する．
第１５回　到達度評価と解説
これまでの理解度を試験により評価し，解説を行う．

授業担当者の実務経験　Work experience of the instructor of the class

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教育用ソフトウェア　Educational software

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備考　Remarks