解析学輪講１ （平場）

61MAANA506

Study Course on Analysis 1

解析学輪講１ （平場）

平場　誠示

HIRABA Seiji

2022年度前期

2022 First semester　

木曜4限、木曜5限

Friday 4th and 5th period　

理工学研究科 数学専攻
Department of Mathematics, Graduate School of Science and Technology　

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4.0単位

ハイフレックス型授業/Hybrid-Flexible format

レヴィ過程 (L'evy processes)

本授業では、確率過程の基本となる加法過程（独立増分を持つ確率過程）について学ぶ。特に、レヴィ過程と呼ばれる、確率連続で、第一種不連続な（右連続で、左極限を持つ）パスを持つ加法過程につい詳しく学ぶ。
　その中で, レヴィ過程が無限分解可能分布を持ち, その特性関数が、「レヴィ・ヒンチン表現」を持つことを示す。更に、そのパスは、「レヴィ・伊藤分解」と呼ばれる表示を持ち、ドリフトを伴うガウス過程とジャンプ過程の和で表されることも示す。

In this course, students will study “additive processes”which have independent increments. They are in a basic group of stochastic processes, Especially, we investigate “L´evy processes”, which are time homogeneous additive processes,
continuous in probability, and have first-order discontinuous
sample paths, that is, they are right-continuous and have
left-hand limits.

We will show the following:
For every L´evy process, it has infinitely divisible distributions and their characteristic functions have the L´evy-Khintchine representations. Also its sample path has the L´evy-Ito decomposition which is a sum of Gaussian process with drift and a jump process.

加法過程、レヴィ過程において、確率解析を行うための専門的な知識をセミナー形式で修得する．さらに，毎回の準備と発表を通して確率過程の研究を行うための能力を身につけることを目的とする．

To study stochastic calculus on additive processes and L'evy processes. Furthermore, we aim to acquire necessary skills to carry out research in stochastic processes. This will be done by preparing and giving presentations in front of the class.

確率解析学に関する専門的な知識の修得．ならびに自分の理解したことを人に論理的，かつ明確に伝えられるようになる．

Acquire specialized knowledge on stochastic analysis. Additionally, to acquire the necessary skills to present your knowledge to others clearly and logically.　

特になし

Not specified　

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参考文献を調べるなど，発表に必要な予備知識を確認する．また，講義内容を復習して理解を
深める．学習時間の?安は復習に4時間，準備に4時間である．

Students should prepare their presentations by reviewing related references and background information. Additionally, one should review lecture contents to further their understandings.
As a guide, 4 hours of preparation and 4 hours of reviewing lecture contents are recommended.　

輪講への貢献度をもとに総合的に判断する。

Students will be evaluated based on their contribution to the class.　

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

・教科書を使用する場合は、MyKiTS(教科書販売サイト)から検索・購入可能ですので以下のURLにアクセスしてください。
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
　
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https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

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下のリンク先の講義ノート
「Levy 過程 (Levy Processes) 」Levy.pdf (p33)
を教科書として使います。

http://hiraba.starfree.jp/Math/index.html

（英語版もあります。
"L\'evy Processes" (LevyE.pdf p31)）　

レヴィ過程 (L´evy Processes)

1 L´evy 過程についての概要
2 L´evy 過程の定義と基本例
加法過程とL´evy 過程の定義
3 L´evy 過程の定義と基本例
指数時間と Poisson 過程
4 L´evy 過程の定義と基本例
複合 Poisson 過程、Brown 運動 (Wiener 過程)
5 L´evy 過程と無限分解可能分布
無限分解可能分布
6 L´evy 過程と無限分解可能分布
L´evy-Khintchine の標準形 1
7 L´evy 過程と無限分解可能分布
L´evy-Khintchine の標準形 2
8 L´evy 過程の重要な例
安定過程と安定分布 1
9 L´evy 過程の重要な例
安定過程と安定分布 2
10 L´evy 過程の重要な例
L-過程 (自己分解可能過程) と L-分布
11 L´evy 過程と分布
法則の意味の L´evy 過程 1
12 L´evy 過程と分布
法則の意味の L´evy 過程 2
13 L´evy 過程と分布
L´evy 過程の分布の絶対連続性 1
14 L´evy 過程と分布
L´evy 過程の分布の絶対連続性 2
15 L´evy 過程と Markov 過程

1 Overview of L´evy Processes and Infinitely Divisible Distributions
2 Definition of L´evy Processes and Basic Examples
Definition of additive processes and L´evy processes
3 Definition of L´evy Processes and Basic Examples
Exponential times and Poisson processes
4 Definition of L´evy Processes and Basic Examples
Compound Poisson processes and
Brownian motions (Wiener processes)
5 L´evy Processes and Infinitely Divisible Distributions
Infinitely divisible distributions
6 L´evy Processes and Infinitely Divisible Distributions
L´evy-Khintchine representations 1
7 L´evy Processes and Infinitely Divisible Distributions
L´evy-Khintchine representations 2
8 Important Examples of L´evy Processes
Stable processes and stable distributions 1
9 Important Examples of L´evy Processes
Stable processes and stable distributions 2
10 Important Examples of L´evy Processes
L- processes (self-decomposable processes) and L-distributions
11 L´evy Processes and Distributions
L´evy Processes in law 1
12 L´evy Processes and Distributions
L´evy Processes in law 2
13 L´evy Processes and Distributions
Absolute continuity of distributions of L´evy Processes 1
14 L´evy Processes and Distributions
Absolute continuity of distributions of L´evy Processes 2
15 L´evy Processes and Markov Processes

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基本的には対面で実施するが状況に応じて実施形態は変更する．

Lectures will be conducted on-site, but will be open to change depending on the situation.

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