複素解析学Ｂ （１組）

61MAANA304

Complex Analysis B

複素解析学Ｂ （１組）

松本　和子

2022年度後期

月曜2限

理工学部　数学科

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2.0単位

対面授業/On-site class

複素解析学Ａの続きで、複素変数の関数の解析学を学ぶ。主題は、正則関数についてのCauchyの積分定理、特異点がある場合のLaurent展開と留数定理の応用等である。Riemann面、解析接続、等角写像等も
扱う。

数学のいろいろな分野の基礎となる複素関数の理論を学ぶとともに、実際に複素数、複素関数、複素積分を用いた証明や計算が行えるようになる。

複素数、複素関数の扱いに慣れ、Cauchyの積分表示を用いた計算やその応用（簡単な証明など）ができ、数学の他の分野で自由に使えるための基礎を身に付ける。　　　

複素解析学Ａの知識が要求される。一般位相の基礎的な知識も必要である。この講義には演習がついていないので、教科書の問題練習などで自習することが必要である。　　

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各回ごとに授業中に指示するので、各回の授業前に２時間、授業後に２時間の準備学習と復習を指定した範囲において行うこと。

試験による。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

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・教科書を使用する場合は、MyKiTS(教科書販売サイト)から検索・購入可能ですので以下のURLにアクセスしてください。
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
　
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必要に応じて授業中に紹介する。

第１回：　正則関数の零点と一致の定理
　　正則関数の零点の性質、一致の定理。
第２回：　正則関数の基本的性質（１）
　　原始関数の存在、Cauchyの積分定理の逆としてのMoreraの定理、正則関数列の極限の正則性、
　　積分で定義される関数の正則性。
第３回：　正則関数の基本的性質（２）
　　最大値原理、Liouvilleの定理とその応用，代数学の基本定理。
第４回：　無限遠点
　　Riemann球、複素平面のCompact化，無限遠点。
第５回：　Laurent展開
　　環状領域での正則関数のLaurent展開とその意味。
第６回：　孤立特異点
孤立特異点の分類と除去可能特異点での正則性、有理型関数の定義。
第７回：　留数定理（１）
　　孤立特異点での留数の定義、留数定理、留数の求め方。
第８回：　留数定理（２）
　　留数定理の様々な積分の計算への応用。
第９回：　有理型関数（１）
　　有理型関数全体が体をなすこと、有理型関数の零点・極の位数。
第１０回：　有理型関数（２）
　　偏角の原理とその意味，ルーシェの定理
第１１回：　部分分数展開
　　Riemann球上の有理型関数が有理関数であること、Mittag-Lefflerの定理。
第１２回：　多価関数
　　対数関数、累乗関数など多価関数の扱い方、対数関数のリーマン面。
第１３回：　等角写像（１）
　　等角写像、一次変換。
第１４回：　等角写像（２）
　　リーマンの写像定理。
第１５回：　まとめ
　　到達度評価試験と総括を行う。　　

本科目は、教育職員免許状取得（教科：数学）に必要な教科に関する科目の「解析学」区分に該当します。
ただし、教科に関する科目区分については、入学年度により異なるため、各自、入学年度または適用となる年度の学修簿により確認をしてください。　

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