シラバス情報

科目名称/Course title(Japanese)
複素解析学 (1組)【旧】
科目番号/Course number
科目名称(英語)/Course title(English)
Complex Analysis
授業名称/Class name
複素解析学 (1組)【旧】

教員名
松本 和子
Instructor

開講年度学期
2022年度前期、2022年度後期
Year/Semester

曜日時限
月曜2限
Class hours

開講学科/Department
理工学部 数学科
外国語のみの科目(使用言語)/Course in only foreign languages (languages)
-

単位/Course credit
4.0単位
授業の主な実施形態/Main class format
対面授業/On-site class

概要/Description
一複素変数の関数の解析学を学ぶ。べき級数、初等関数を学び、複素積分について考察する。主題は正則関数についてのCauchyの積分定理、特異点がある場合のLaurent展開と留数定理の応用などである。Riemann面、解析接続、等角写像等も扱う。
目的/Objectives
数学のいろいろな分野の基礎となる複素関数の理論を学ぶとともに、実際に複素数や複素関数を用いた証明や計算が行えるようになる。
到達目標/Outcomes
複素数、複素関数の扱いに慣れ、Cauchyの積分表示を用いた計算やその応用(簡単な証明など)ができ、数学の他の分野で自由に使えるための基礎を身に付ける。 
履修上の注意/Course notes prerequisites
基礎解析学1,2の知識が要求される。一般位相の基礎的な知識も必要である。この講義には演習がついていないので、教科書の問題練習などで自習することが必要である。 

アクティブ・ラーニング科目/Teaching type(Active Learning)
課題に対する作文/Essay
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小テストの実施/Quiz type test
ディベート・ディスカッション/Debate,Discussion
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グループワーク/Group work
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プレゼンテーション/Presentation
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反転授業/Flipped classroom
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その他(自由記述)/Other(Describe)
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準備学習・復習/Preparation and review
各回ごとに授業中に指示するので、各回の授業前に2時間、授業後に2時間の準備学習と復習を指定した範囲において行うこと。
成績評価方法/Performance grading policy
試験による。 
学修成果の評価/Evaluation of academic achievement
・S:到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A:到達目標を十分に達成している
・B:到達目標を達成している
・C:到達目標を最低限達成している
・D:到達目標を達成していない
・-:学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S:Achieved outcomes, excellent result
・A:Achieved outcomes, good result
・B:Achieved outcomes
・C:Minimally achieved outcomes
・D:Did not achieve outcomes
・-:Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

教科書/Textbooks,Readings
教科書の使用有無(有=Y , 無=N)/Textbook used(Y for yes, N for no)
Y
MyKiTSのURL(教科書販売サイト)/URL for MyKiTS(textbook sales site)
・教科書を使用する場合は、MyKiTS(教科書販売サイト)から検索・購入可能ですので以下のURLにアクセスしてください。
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
 
・Search and purchase the necessary textbooks from MyKiTS (textbook sales site) with the link below.
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

参考書・その他資料/Reference and other materials
参考書・その他資料の使用有無 (有=Y,無=N)
N
必要に応じて授業中に紹介する。

授業計画/Class plan
第1回: 複素数、複素平面
  複素数の和、積、共役、絶対値等の代数演算。
  複素数と複素平面の点の対応、代数演算とその複素平面での幾何的な意味。
第2回: 複素平面の位相
  複素平面の位相。 複素数列、複素数の級数の収束・発散。 Cauchyの収束条件および完備性。
第3回: 複素関数の連続性、関数列の収束
  複素関数の極限値と連続性の定義および一様連続性。 複素関数列の一様収束と広義一様収束。
第4回: 正則関数(1)
  複素関数の複素微分。
  実2変数関数としての微分可能性と、複素変数としての微分可能の違いとCauchy-Riemannの関係式。
第5回: 正則関数(2)
  Cauchy-Riemannの関係式の応用、正則関数の基礎的性質。
  領域で 実数値しか取らないまたは絶対値が一定である正則関数が定数となることなど。
第6回: ベキ級数
  ベキ級数の収束と収束半径、収束円の内部での絶対収束性と広義一様収束性。
第7回: Cauchy-Hadmardの公式
  収束半径を与える, d'Alembertの公式、 Cauchyの公式、上極限を用いた Cauchy-Hadmardの公式、
  具体的なベキ級数の例。
第8回: ベキ級数の正則性
  ベキ級数で定義される関数の収束円内部での正則性、項別微分及び項別積分可能であること。
第9回: 初等複素関数
  複素関数としての指数函数,三角関数,双曲線関数とEulerの公式等の基本的な性質。
第10回: 対数関数、累乗関数
  指数関数の逆関数としての対数関数の定義と性質。
  指数関数と対数関数を使っての累乗関数の定義と性質。
第11回: 複素積分
  複素関数の曲線に沿っての複素積分の定義。 
  正則な場合と正則でない場合の複数の積分路に沿っての複素積分の簡単な例。
第12回: Cauchy-Goursat の積分定理(1)
  Goursatによる、導関数の連続性を仮定しない Cauchyの積分定理の証明。
第13回: Cauchy-Goursatの積分定理(2)
  Cauchyの積分定理を使っての計算例と実関数の積分への応用例。
第14回: Cauchyの積分公式
  Cauchy-Goursatの積分定理を使っての、Cauchyの積分公式の証明。 
  正則関数の正則域でのベキ級数展開可能性。
第15回: 前期のまとめ
  前期の到達度評価試験と総括を行う。
第16回: 正則関数の零点と一致の定理
  正則関数の零点の性質、一致の定理。
第17回: 正則関数の基本的性質(1)
  原始関数の存在、Cauchyの積分定理の逆としてのMoreraの定理、正則関数列の極限の正則性、
  積分で定義される関数の正則性。
第18回: 正則関数の基本的性質(2)
  最大値原理、Liouvilleの定理とその応用,代数学の基本定理。
第19回: 無限遠点
  Riemann球、複素平面のCompact化,無限遠点。
第20回: Laurent展開
  環状領域での正則関数のLaurent展開とその意味。
第21回: 孤立特異点
孤立特異点の分類と除去可能特異点での正則性、有理型関数の定義。
第22回: 留数定理(1)
  孤立特異点での留数の定義、留数定理、留数の求め方。
第23回: 留数定理(2)
  留数定理の様々な積分の計算への応用。
第24回: 有理型関数(1)
  有理型関数全体が体をなすこと、有理型関数の零点・極の位数。
第25回: 有理型関数(2)
  偏角の原理とその意味,ルーシェの定理
第26回: 部分分数展開
  Riemann球上の有理型関数が有理関数であること、Mittag-Lefflerの定理。
第27回: 多価関数
  対数関数、累乗関数など多価関数の扱い方、対数関数のリーマン面。
第28回: 等角写像(1)
  等角写像、一次変換。
第29回: 等角写像(2)
  リーマンの写像定理。
第30回: 後期のまとめ
  後期の到達度評価試験と総括を行う。 

教職課程/Teacher-training course
本科目は、教育職員免許状取得(教科:数学)に必要な教科に関する科目の「解析学」区分に該当します。
ただし、教科に関する科目区分については、入学年度により異なるため、各自、入学年度または適用となる年度の学修簿により確認をしてください。
実務経験/Practical experience
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教育用ソフトウェア/Educational software
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備考/Remarks

授業コード
9961214