環と加群１

11MAALG303

Rings and Modules 1

環と加群１

功刀　直子

2022年度前期

水曜2限

理学部第一部　数学科

-

2.0単位

対面

２年次代数学で学んだ群、環等の抽象概念を用いて、１年次の線形代数学でのベクトル空間および線形変換の理論の一般化としての、環上の加群の一般論を学ぶ。その上で、単項イデアル整域上の加群の構造定理を学ぶ。その応用として、有限生成アーベル群の基本定理及びジョルダン標準形の理論を学ぶ。また、できるだけ多くの例題を示し、演習問題を多数解くことで、これらの理論を深く理解する。

線形代数学の延長としてのジョルダン標準形の理論を学ぶ。さらに、単項イデアル整域上の加群の構造定理を学び、その応用としてのジョルダン標準形を再度学ぶ。これらを多角的な視点でとらえる方法論を身につけることを目標とする。本学科のカリキュラムポリシーのなかの「専門科目の高度な内容へ」に相当する科目である。

(1) 線形代数の延長としてのジョルダン標準形の理論を理解し、与えられた行列のジョルダン標準形を求めることができる。
(2) 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を理解し、与えられた加群の構造を決定できる。
(3) 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の視点からのジョルダン標準形の理論を理解する。

２年次までの代数学分野の授業内容を理解していること。

-

-

-

-

-

-

-

各回の授業ごとに準備学習・復習を各々１時間程度行うこと．　

到達度評価試験および課題により，総合的に評価する。

・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A：到達目標を十分に達成している
・B：到達目標を達成している
・C：到達目標を最低限達成している
・D：到達目標を達成していない
・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S：Achieved outcomes, excellent result
・A：Achieved outcomes, good result
・B：Achieved outcomes
・C：Minimally achieved outcomes
・D：Did not achieve outcomes
・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation

N

・教科書を使用する場合は、MyKiTS(教科書販売サイト)から検索・購入可能ですので以下のURLにアクセスしてください。
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
　
・Search and purchase the necessary textbooks from MyKiTS (textbook sales site) with the link below.
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/

Y

三宅 敏恒「線形代数学—初歩からジョルダン標準形へ」培風館
松坂和夫「代数系入門」岩波書店
堀田良之「代数入門---群と加群---」裳華房

各回の授業は以下のテーマ・キーワードに沿って行い，それらの概念を学び理解する．
第1回：線形代数学復習，ベクトル空間，線形写像，表現行列，ベクトル空間の直和
第2回：環論復習，体上の多項式環，自己準同型環
第3回：最小多項式，固有多項式，固有値，固有ベクトル，対角化
第4回：一般固有空間，一般固有空間分解
第5回：ジョルダン標準形，べき零変換
第6回：ジョルダン標準形の計算方法
第7回：これまでのまとめ．
第8回：環上の加群，部分加群，剰余加群，準同型
第9回：自由加群，加群の生成系，階数
第10回：単項イデアル整域上の加群，自由加群の部分加群
第11回：単因子論，行列の基本変形，単因子
第12回：単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理，有限生成アーベル群の基本定理
第13回：ジョルダン標準形再論
第14回：ここまでのまとめと演習
第15回：到達度評価と解説：これまでの理解度を試験により評価する。

本科目は、教育職員免許状取得（教科：数学）に必要な教科に関する科目の「代数学」区分に該当します。
ただし、教科に関する科目区分については、入学年度により異なるため、各自、入学年度または適用となる年度の学修簿により確認をしてください。

-

-

9911359